Геометрични фрактали

Геометричните фрактали са известни още с името детерминирани фрактали. Наричат ги още класически или линейни фрактали. Самоподобието е проявява на всички нива (мащаби).
Детерминираните фрактали се образуват в процеса "итерация"(повече информация - тук).

Тези фрактали са лесни за построяване. В двумерния случай се получават с помощта на някаква начупена линия (или повърхност в тримерния случай), наречена генератор. За всяка стъпка от алгоритъма всяка от отсечките, съставящи начупената линия, се заменя с генератора, в съответния мащаб. В резултат на безкрайни повторения (итерации) на тази процедура, се получава геометрическия фрактал. По-подробно е обяснено тук.

Да разгледане някои по-известни геометрични фрактали:

Крива на Кох
Кривата на Кох е един от най-типичните детерминирани фрактали. Изучен от шведския математик Хелге фон Кох през 1904г. Генераторът на фрактала е равностранен триъгълник, страните на който са равни н 1/3 от дължината на голямата отсечка. Манделброт много е експериментирал с кривите на Кох, и получил такива фигури като Островите на Кох, Кръстовете на Кох, Снежинките на Кох и даже тримерни конструкции на кривата на Кох, използвайки тетраедър и прибавяйки по-малки по размер тетраедри към всяка от стените му. Кривата на Кох има размерност ln4/ln3 = 1.261859507.					Крива на Кох (вар.1)

					1	2	3	4
					Ако k=BD/AB=1 се получава крива на Кох вариант 1. Ако BD=0 (k=0) се получава кривата на Цезаро (вар.2), а при k=0.2 - вар.3
Крива на Кох (вар.2)-Cesaro (1905)					Крива на Кох (вар.3)

1	2	3	4	5	1	2	3	4

Дракона от книгата"Юрски парк" на Майкъл Крайтън, (Хартера-Хейтуей)
Най-известният "литературен" фрактал. Откровенията на Малкълм от тази книга ми дадоха първия тласък да се занимавам с фракталите. Може да се получи много лесно като последователно се сгъва на две лист хартия и се разтваря докато ъгъла стане 90^о.

Повече за "дракона" на Хартер-Хейтуел може да се прочете в статията за IFS

Решетката на Сиерпински
Този знаменит фрактал е наречен на името на откривателя си - полския математик Вацлав Сиерпински, който го е описал 1915г. Манделброт го прави известен под името "въжето на Сиерпински" (Sierpinski gasket). Принципът на изграждането му е прост: всеки елемент се заменя с n брой подобни на него елементи. Според размерността си могат да бъдат:

едномерни

или гребен на Кантор - описан от Георг Кантор, един от основателите на теорията на множествата, още през 1883. Образува се на основата на премахвания на средната третина на отсечката – повторението на подобната операция до безкрайност води до образуването на т.н. канторовски прашинки, сумата от дължините на които е равна на 0. Фракталната размерност му е ln2/ln3 = 0.63

двумерни

Първи е описан в "Мозайки, формирани от петоъгълници" от "Ръководство на живописеца" (1525г) от Албрехт Дюрер т.н. Петоъгълник на Албрехт Дюрер– построяването на квадрати на страните на правилния петоъгълник като цяло образува подобен на него, но по-голям петоъгълник.

Най-известни са триъгълника и четириъгълника (килима) на Сиерпински (Sierpinski carpet).

		Триъгълник на Сиерпински
		Атракторът е: 3 нови подобни фигури, разположени симетрично на 1/2 от страните. Размерност: ln3/ln2 = 1.585

		Четириъгълник (килим) на Сиерпински(Sierpinski carpet)
		Атракторът е: 8 нови подобни фигури, по 3 на страна и по един на върховете. Размерност: 3ln2/ln3 ~ 1.9 Диагоналите на "килима" представляват множества на Кантор

		Крива на триъгълника на Сиерпински (arrowhead curves)
		Една крива, която след няколко итерации клони към фрактала Триъгълник на Сиерпински.

Триъгълник на Сиерпински със завъртане. Ако след след всяка итерация генераторът се завърта с определен ъгъл:
на левия долен ъгъл по посока, обратно на часовата стрелка
левия долен ъгъл, обратно на часовата стрелка, а десния долен ъгъл - по часовата стрелка едновременно с един и същ ъгъл

Триизмерни

Най-известен в триизмерен вид е "килима" на Сиерпински, известен още като " на Сиерпински-Менгер (Карл Менгер 1902 - 1985 -амер. математик). Атракторът е: 20 нови подобни тела, центрирани по 3 към всеки ръб.
Размерност: ln20/ln3 ~ 2.7. Наподобява костна структура. След безброй итерации ще се превърне в "прах" на Кантор, както впрочем и нашите кости.