Дървото на Фейгенбаум или как се стига до хаос

За популацията на насекомите

Да разгледаме един пример. Ръста на някои популации за няколко години обикновено се описва с помощта на коефициент на прираста, т. е. отношението на ежегодния прираст на числеността на популацията към нейната обща численост. Ако тази величина остане постоянна в течение целия период време, се казват, че закона на ръста е линеен, а самият ръст - експоненциален. Например, при коефициент на прираста 5%, популацията удвоява численността си всеки 14 г. Закони от такъв тип са приложими само за ограничен промеждутък от време - за ръста винаги съществуват предели.

П. Ф. Ферхюлст формулирал през 1845 г. закон, съдържащ ограничение на ръста. Той обърнал внимание на това, че всяка екологична ниша може да обеспечи съществуването на популацията само до определен максимален размер Х и че коефициента на прираста трябва да се снижава, когато размерите на популацията се приближават до X. , т.е. коефициента на прираста става променлив. В резултат процесът се превръща в нелинеен, което коренно изменило динамичното му поведение.

Да споменем само най-важните резултати. Когато параметрите на ръста превишат 200%, става невъзможно да се достигне оптималната численост X. Когато популацията е малка, енергичния ръст неизменно води до превишаване оптималния размер, което предизвиква ответна реакция, в резултат което популацията намалява до размери, значително по-малки от X. След това се появяват устойчиви колебания между двата размера, по-големия и по-малкия.

Когато параметъра на ръста превиши 245%, настъпва по-нататъшно усложнение на поведението. Колебанията стават отначало между 4, след това 8, после 16 различни величини на численност и т. н. , докато за параметри, по-големи от 257%, не възникне хаос.

Уравнението на Фейгенбаум

До хаос системите могат стигнат по различни пътища. Един от тях е бифуркацията, която се изучава в теорията на бифуркацията.
Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоен) представлява процес на качествен преход от състояние на равновесие към хаос чрез много малки изменения, извършвани последователно.
Необходимо е да отбележим, че става качествено изменение на свойствата на системата, или катастрофичен скок. Моментът на скока (раздвоението при бифуркацията) става в точката на бифуркация.

Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum) основно е анализирал логистическото уравнение, което описва динамиката на развитието на популациите:

X_n+1=CX_n - С(Х_n)², където С е външен параметър.

Той открил, че при някои ограничения във всички подобни уравнения става преход от равновесно състояние към хаос.

Например, изолирано живее популация с определена численост Xn. След година се появява потомство с численост Xn+1. Ръстът на популация се описва с първия член на дясната част от уравнението (СХn), където коефициента С определя скоростта на ръста. Намаляването на животните (за сметка на пренаселеност, липса на храна и т.н.) се определя от втория, нелинеен член (С(Хn)²).

Поставете мишката върху съответния параметър C за да проследите графиката, която има всички белези на фрактал.
Резултатът дава следните изводи:

• при С < 1 популацията с ръст n измира;
• в областта 1 < С < 3 числеността на популацията се приближава към постоянно значение
  Хо = 1 - 1/С, което е област на стационарни, фиксирани решения.
• При стойност C = 3 точката на бифуркация става отблъскваща фиксирана точка. От този момент функцията вече никога не схожда към една точка, а дотогава точката е привличаща, фиксирана;
• в диапазона 3 < С < 3.57 започват да се появяват бифуркации и разклонения на всяка крива на две. Тук функцията (числеността на популацията) се колебае между две стойности, лежащи на тези разклонения;
• при C > 3.57 областта се покрива от различни решения и поведението на системата става хаотично.

Числото на Фейгенбаум

При точен анализ на точките на бифуркация в процеса на Ферхюлст се открива закономерност, имаща исключително значение в света на нелинейните явления. Закономерността касае стойността на дължината на интервалите, при които движението е устойчиво през някакъв определен период. Тези интервали се съкращават при всяко удвояване на периода, при това множителя, характеризиращ съкращението, се приближава до универсално значение

d₁ = 4.669201660910..., когато периода расте.

Това число е такава характеристика за сценариите за удвояване на периодите, както числото пи за отношението на дължината на окръжността към нейния диаметър. Наречено е "число на Фейгенбаум".

Това откритие предизвикало невероятна активност на учените в много области на науката. Направени са огромно число експерименти, показващи, че този сценарий действително се наблюдава в много естествени системи. Това са и началото на турбулентността при флуидите, и нелинейните колебания в химическите или електрическите мрежи, и даже прехода от нормален ритъм на сърцето в заплашваща живота фибрилация.

На теорията това оказало не по-малко силно въздействие. Математиците все още се опитват до край да разберат тази неочаквана универсалност. Но, това което е най-важно е, че тя породила надеждата, че нелинейните явления подлежат на систематизация и научна класификация.